2020年度 神戸大学 数学（理系） 第５問
今回は２０２０年度の神戸大学の数学（理系）から１問見てみます。
２０２０年度の神戸大学の数学（理系）の第５問はこんな感じでした。
問題
ちょっと面白そうな問題ですね！笑
漸化式の中に絶対値が含まれているので、
これをどう処理するのかがキーになりそうな感じです。
ではみていきましょう！＾＾
略解
まず（１）ですが、これは単純に計算するだけです。
のとき、
は
、
、
、
となるので、
\begin{eqnarray}
x_n = \left\{ \begin{array}{ }
\displaystyle \frac{1}{9}& (n= 3l-2 のとき) \\
\displaystyle \frac{7}{9}& (n= 3l-1のとき) \\
\displaystyle \frac{5}{9} & (n= 3l のとき)
\end{array} \right.
\end{eqnarray}
となることがわかります。（ただし、 は自然数）
（２）については、（１）から、
において、
\begin{eqnarray}
\displaystyle x_n = \frac{2^{p}-2^{n-1}+1}{2^{p}+1}
\end{eqnarray}
となることが推察できるので、これを帰納法で示します。
すると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle x_{p+1} = \frac{1}{2^{p}+1} = x_1
\end{eqnarray}
となっていることがわかります。。
とまぁ、こんな感じで解けるのですが、
（２）で の形が見抜けるかどうかがこの問題のポイントになります。
そのためのヒントとして、（１）があるのですね。
（やってみればわかるのですが、絶対値の処理については実はさほど苦労はせずに済みます）
構造がわかると、なかなか面白い問題ですね＾＾
ではでは！
