2021年 京都大学 数学（理系） 第6問 問1
今回は見るからに面白そうな、2021年度 京都大学の数学（理系）の第6問の問1を取り上げます。
問題
整数の問題です。京大ではほぼ毎年、整数の問題が出題されます。
、、京大って本当に整数の問題が好きですね。
京大の整数問題は面白いものが多いので、私も解いていて楽しくなります ♪ 笑
さてさて、雑談はこのくらいにしておいて、、笑
この問題、とてもシンプルで、 が素数であるとき、
も素数であるということを示せばよいのですが、「
が素数である」という条件が案外使いにくいという点がポイントです。
ここを上手く扱うための何かしらの‟工夫”が必要になってきます。
記事の後半で略解を載せていますが、略解を見る前に自分で少し考えてみてください。
自力で解けましたか？
この問題は「 が素数である」という条件のもとで、「
も素数である」を証明する問題です。
整理すると、
条件：「 が素数である」
示すべき結論：「 も素数である」
ということになりますが、やってみるとわかりますが「 が素数である」という条件は使いにくいです。
こういうときにはどうしたら良いでしょうか？
、、そう！「対偶」を考えると良いですね。
「ならば
」という命題を考えるとき、「
ならば
」のことを対偶といいます。
「ならば
」と「
ならば
」は同値ですので、この対偶を示すことによってこの問題は証明できます。
（もちろん背理法でやっても証明できますが、略解では対偶を使って証明してみます）
略解
対偶、すなわち、「 が素数でないならば、
も素数でない」であることを示します。
が素数でないとき、
と置くことができます。
すると、このとき
（←この変形がポイント！）
（←上と同じ変形をもう一度やる！）
となります。ここまで来れば、もう解けたも同然です。
であるので、
であり、 も素数ではないということがわかります。
、、どうでしたか？
この問題は式変形と整数の扱いが重要なポイントになります。
なかなか面白い問題でしたね！！
冒頭でも述べましたが京大は整数が大好きなので、京大を目指される方はしっかりと対策しておきたいですね！
では、今日はこの辺で！
京大志望者必携！
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