等差数列の公式

今回は

等差数列の公式

をまとめます。

例題も用意しているので、しっかり身につけておきましょう♪

等差数列

隣り合う項の差が一定な数列を等差数列と言います。

等差数列の最も重要な公式は一般項の公式と和の公式です。

まずは一般項の公式から見てみましょう♪

等差数列の一般項の公式

初項を、公差をとするとき

 さっそく例題で練習してみましょう。

＜例題＞

等差数列が と並んでいるとき、この一般項 を求めよ。

＜解＞

初項が で、公差が なので、一般項 は

\begin{align} a_n &= 5 + (n-1) \times 3 \\
&=3n+2 \\
\end{align}

次に、等差数列の和の公式を見てみましょう。

等差数列の和の公式

初項を、公差を、末項を、項数をとするとき

\begin{align} \displaystyle (1)　S_n &= \frac{n}{2}  (a+l) \\
\displaystyle (2)　S_n &= \frac{n}{2} \{ 2a + (n-1) d \} \\
\end{align}

等差数列の和の公式は上の２種類があります。

末項 がわかっているときは（１）が使えますが、末項 がわからず公差 がわかっているときは（２）を使う、というように使い分けていきましょう。

（補足：末項というのは、考えている数列の最後の項のことを言います）

＜例題＞

初項が 、公差が の等差数列の初項から第 項までの和 を求めよ。

＜解＞

初項が 、公差が の等差数列なので、

\begin{align} \displaystyle S_{10} &=\frac{10}{2} \{ 2 \times 5 + (10-1) \times 3 \} \\
&= 185 \\
\end{align}

となります。 の具体的な数字は与えられていませんが、公差はわかるので、和の公式の（２）の方を使えばよいのですね。

もちろん、 の値を求めて、（１）の式を使って答えを出すこともできます。

一般項の公式から、

\begin{align} a_{10} &= 5+(10-1) \times 3 \\
&= 32 \\
\end{align}

となるので、和の公式の（１）より

\begin{align} \displaystyle S_{10} &=\frac{10}{2} (5 + 32 ) \\
&= 185 \\
\end{align}

と求まります。