つれづれの月

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2021年早稲田大学数学（基幹理工、創造理工、先進理工）第2問

入試数学

今回は2021年度早稲田大学の数学（基幹理工、創造理工、先進理工）の第2問を取り上げてみます。

今年の2021という数字が使われていますよ ♪

（ちなみに、昨年は2020という数字が出てくる一橋大学の問題を紹介しています。

tsurezurebiyori.hatenablog.com

↑ 興味のある方はどうぞ！）

では、さっそく今年の2021の問題を見ていきましょう！ ♪

問題

f:id:tsurezurebiyori:20210308202832j:plain

整式の割り算の問題です。

試験場では案外差のつく問題だと思います。

記事の後半で略解を載せていますが、略解を見る前に自分で少し考えてみてください ♪

、、、自力で解けましたか？

（1）は力ずくで解くことも可能ですが、できれば少し工夫して解きたいところです。

（2）や（3）では、二項定理を利用しましょう。

それでは答え合わせも含めて、ざっと問題を見ていきましょう ♪

略解

（1）についてですが、

$x^6+1 = (x^2+1)(x^4-x^2+1)$

より、

$x^6 = (x^4-x^2+1)(x^2+1) -1$

となるので、 $x^6$ を $x^4-x^2+1$ で割った余りは $-1$

となります。

次に（2）です。

$2021 = 6×{336}+5$ なので、

$x^{2021} = (x^6)^{336}・x^5$

これと（1）の結果より、

$x^{2021} = \Bigr( (x^4-x^2+1)(x^2+1) -1 \Bigl)^{336}・x^5$

となりますが、二項定理から、

$\Bigl( (x^4-x^2+1)(x^2+1) -1 \Bigr)^{336}=(x^4-x^2+1)A(x)+1$ ( $A(x)$ は整式 )

と表されるので、 $x^{2021}$ を $x^4-x^2+1$ で割った余りは、

$x^5$ を $x^4-x^2+1$ で割った余りに等しくなります。

$x^5 = x(x^4-x^2+1) +x^3-x$

より、 $x^{2021}$ を $x^4-x^2+1$ で割った余りは $x^3-x$ ということになります。

最後は（3）です。

$n$ が３の倍数なので、 $n = 3k$ とすると、

$(x^2-1)^n-1$

$= (x^2-1)^{3k}-1$

$= (x^6-3x^4+3x^4-1)^k-1$

$= \Bigl( (x^4-x^2+1)(x^2-2)+1\Bigr)^k-1$

ここまできたら、もう解けたも同然ですね ♪

（2）のときと同じように二項定理を使って考えると、

$(x^2-1)^n-1$ を $x^4-x^2+1$ で割った余りは $1-1=0$ 、

つまり $(x^2-1)^n-1$ は $x^4-x^2+1$ で割り切れることになります。。

、、どうでしたか？

（2）や（3）は少し難しかったかもしれません。

試験場では差がついた問題だったでしょう。

整式の割り算は基本を押さえることが大切です。

苦手な人は対策をしっかりやっておきましょう！

ではでは、今日はこの辺で ♪

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