階差数列の公式

今回は

階差数列

をおさらいします。

例題も用意しているので、しっかり身につけておきましょう♪

階差数列

まずは階差数列の定義から確認しましょう。

数列 があるとき、 としてできる数列 をもとの数列 の階差数列といいます。

この定義から、 がわかっていると、その階差数列 も求まりますね。

例えば、 の一般項が であれば、

\begin{align} b_n &= a_{n+1}-a_n \\
&=\{ 3(n+1)+5 \}-(3n+5) \\
&=3
\end{align}

となりますし、もし の一般項が であれば、

\begin{align} b_n &= a_{n+1}-a_n \\
&=\{ (n+1)^2+3 \} -(n^2+3) \\
&=(n^2+2n+4) - (n^2+3) \\
&=2n+1
\end{align}

となります。

このようにある数列 が与えられれば、その階差数列 も定義からわかるのですが、

高校数学の問題でよく出てくるのはこの逆で、「階差数列 が与えられたときに、もとの数列 を求めることができるか」が問われます。

では階差数列 からどうやってもとの数列 を求めるのでしょうか？

このときに使う公式が、次の階差数列の公式です。

階差数列の公式

\begin{align} \displaystyle a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k \quad (n \geqq 2) \end{align}

初項 と階差数列 がわかれば、この公式を使ってもとの数列 を求めることができるわけです。

例題で公式の使い方を練習しておきしょう♪

＜例題＞

数列が の一般項 を求めよ。

＜考え方＞

はすぐには求まりそうにないので、こういうときはその階差数列 を調べてみましょう。もし がわかれば、階差数列の公式から も求めることができます。

＜解＞

階差数列 は、 となっているので、

である。

よって、階差数列の公式から、 のとき、

\begin{align}  \displaystyle a_n &= a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \ b_k \\
&= 3 + \sum_{k=1}^{n-1} \ (2k+1) \\
&= n^2 +2 \\
\end{align}

これは のときでも成り立っている。

よって、 である。

となりますね。うまくできたでしょうか？

ここで１つ注意点があります。この公式は で使えるものなので、 のときのことは別に書いておく必要があります。階差数列の公式を使うときはこの点だけ注意してください。

Point !

階差数列の公式は のとき！　 のときは別で！

また、（シグマ）の計算のところがよくわからない人はこちらをどうぞ！

tsurezurebiyori.hatenablog.com