等比数列の公式
今回は
等比数列の公式
をおさらいします。
例題も用意しているので、しっかり身につけておきましょう♪
等比数列
隣り合う項の比が一定な数列を等比数列と言います。
等差数列の場合と同じく、等比数列でも重要な公式は一般項の公式と和の公式です。
まずは等比数列の一般項の公式から見ていきましょう。
等比数列の一般形はこのようになっています。
さっそく例題で練習してみましょう。
＜例題＞
ある等比数列が と並んでいるとき、この等比数列の一般項
を求めよ。
＜解＞
初項が で、公差が
なので、一般項
は
\begin{align} a_n &= 3 \times (-2)^{n-1} \\
\end{align}
次は、等比数列の和の公式です。
等比数列の和の公式
初項を、公比を
、項数を
とするとき
\begin{eqnarray}
S_n = \left\{ \begin{array}{ }
\displaystyle \frac{a(1-r^n)}{1-r} （r \neq 1 \ のとき）\\
\ \ \ \ \ \ na \ （r = 1 \ のとき）\\
\end{array} \right.
\end{eqnarray}
等比数列の和の公式を使うときはほぼ のときの形です。
のときは、公比が１の等比数列となり、これはつまりずっと同じ数が並んでいるだけの単純な数列になるので、数学の問題で出てくることはほぼありません。なので等比数列の和の公式と言えば、
の形をすぐ連想できるようにしておきましょう。
＜例題＞
初項が 、公比が
の等比数列がある。
（１）この数列の初項から第 項までの和
を求めよ。
（２）この数列の初項から第ｎ項までの和がとなるとき、ｎを求めよ。
＜解＞
（１）
初項が 、公比が
の等比数列なので、
\begin{align} \displaystyle S_{10} &=\frac{3\{1-(-2)^{10} \} }{1-(-2)} \\
&= -1023 \\
\end{align}
（２）
初項から第ｎ項までの和 は
\begin{align} S_n &= \frac{3\{1-(-2)^n\}}{1-(-2)} \\
&= 1-(-2)^n \\
\end{align}
となる。これが となることから、
\begin{align} &1-(-2)^n = 2049 \\
\Leftrightarrow &\quad (-2)^n = -2048 \\
\Leftrightarrow &\qquad n = 11 \\
\end{align}
よって、
となります。
