2021年 北海道大学 数学（理系） 第3問
今回は2021年度 北海道大学の数学（理系）の第3問を取り上げます。
問題
指数・対数関数の問題です。
こういう問題では式変形がポイントになってきます。
記事の後半で略解を載せていますが、略解を見る前に自分で少し考えてみてください。
、、、自力で解けましたか？
指数関数や対数関数は苦手意識を持っている人もいると思います。
見た目も難しそうな感じがしますしね。。笑
でも指数や対数の式変形がちゃんとできるようになれば、そんなに怖くありません！笑
答え合わせも含めて、ざっと問題を見ていきましょう ♪
略解
（1）についてですが、問題文の（★）式を変形すると、
\begin{align}
(3^{y^2+1}-3^{4x})^2=0 \\
\end{align}
のようになります。これより、
\begin{align}
3^{y^2+1}=3^{4x} \\
\end{align}
となるので、
\begin{align}
y^2=4x-1 \\
\end{align}
となります。
次に（2）です。
のとき
\begin{align}
\displaystyle
&1-\frac{x}{y}＞0 \\
\Leftrightarrow \quad &y \, ＞ \, x \\
\Leftrightarrow \quad &y^2 \, ＞ \, x^2 \\
\end{align}
であり、これと(1)で求めた より、
\begin{align}
4x-1 \, ＞ \, x^2 \\
\end{align}
これを解いて、
\begin{align}
2-\sqrt{3} \, ＜ \, x \, ＜ \, 2+\sqrt{3} \\
\end{align}
となります。このとき、
\begin{align}
\displaystyle
&\frac{1}{\log_{\, 1+\frac{x}{y}}4}+\frac{1}{\log_{\, 1-\frac{x}{y}}4} \\
= \quad &\log_4 \Bigr(1-\frac{x^2}{y^2} \Bigl) \\
= \quad &\log_4 \Bigr(1-\frac{(y^2+1)^2}{16y^2} \Bigl) \\
= \quad &\log_4 \biggr(1-\frac{1}{16} \Bigr( y^2 + \frac{1}{y^2} +2 \Bigl) \biggl) \\
\end{align}
ここで、相加・相乗平均の関係より、
\begin{align}
y^2+\frac{1}{y^2} \geqq 2\\
\end{align}
なので（等号は のとき成立）、最終的に、
の最大値は となります。。
、、どうでしたか？
（2）は他にも解法がありますが、このやり方が簡単かなと思います。
指数・対数関数は苦手な人も意外と多い分野ですが、だからこそ点差がつきやすい分野でもあります。
苦手な人はきちんと対策しておくと良いですね。
ではでは、今日はこの辺で！
北大志望者必携！
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