2021年 大阪大学 数学（理系） 第4問
今回は2021年度 大阪大学の数学（理系）の第4問を取り上げます。
問題
整数の問題です。
ちょっと難しいところもありますが、なかなか面白い問題です ♪
記事の後半で略解を載せていますが、略解を見る前に自分で少し考えてみてください。
、、、自力で解けましたか？
まずは（＊）の式を式変形するところから始めましょう。
うまく式変形できたら、そこから丁寧に論証していきます。。
略解
（＊）式を の条件下で変形すると、次の式が得られます。
\begin{align}
3c^2 = -(a+2b)(2a+b) \tag{①}
\end{align}
この①式をもとに、(1)、(2)を考えていきます。
まずは（1）についてですが、①の左辺が3の倍数であることから、右辺も3の倍数であることがわかります。
つまり、、
のうち、少なくともいずれか一方は3の倍数になります。
ここでポイントとなるのが、、
のうち一方が3の倍数であるとき、実はもう一方も3の倍数となっていることです。
（これは、 となっていることから確認できます）
つまり、、
のうちいずれか一方が3の倍数であるなら、
と
はともに3の倍数となっているので、①の左辺は結局のところ、
の倍数となります。
このことから、①より も3の倍数となることがわかります。
（2）については、①と より、
これと、(1)、および より、
と表すことができます。ただし、。
よって、答えは、、、 となりますね。。
、、どうでしたか？
ちょっと難しかったかもしれませんが、論証力が問われる良問だと思います。
略解はかなり省略気味で書いていますが、実際に解答を作成する際は丁寧に書いていきましょう。
ではでは、今日はこの辺で！
阪大志望者必携！
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