シグマ計算に慣れよう！シグマの公式

今回は

$\sum$ （シグマ）計算の基本

をおさらいします。

例題も用意しているので、しっかり身につけておきましょう♪

$\sum$ （シグマ）

まずはシグマ記号の定義から確認しましょう。

数列の和 $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n$ を $\displaystyle \sum_{k=1}^n \ a_k$ と書きます。

つまり、

$\displaystyle \sum_{k=1}^n \ a_k = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n$

というわけですね。これがシグマ記号の定義になります。

シグマ記号では、次の計算法則が成り立ちます。

$\displaystyle \sum_{k=1}^n \ (ca_k + cd_k) = c \sum_{k=1}^n \ a_k + d \sum_{k=1}^n \ b_k$

（ただし、 $c,\ d$ は定数）

これはシグマ計算ではとても大事な法則になります。自然に変形できるようにしておきましょう。

また、シグマ計算では重要な公式がいくつかあります。

それらをここでまとめておきましょう。

シグマの公式

１． $\displaystyle \sum_{k=1}^n \ c = nc$

２． $\displaystyle \sum_{k=1}^n \ k = \frac{n(n+1)}{2}$

３． $\displaystyle \sum_{k=1}^n \ k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

４． $\displaystyle \sum_{k=1}^n \ k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

シグマ計算をするうえで必要になってくる公式です。高校数学では４番の式はそこまで使用頻度が多いわけではないので、まずは１～３番までの式をしっかり覚えましょう。

これらの公式を覚えたら、あとは計算の練習をするだけです。例題をいくつか用意してあるのでトライしてみてください♪

＜例題１＞

$\displaystyle \sum_{k=1}^n \ ( 2k - 1 )$ を求めよ。

＜解＞

$\displaystyle \sum_{k=1}^n \ ( 2k - 1 )$
$= \displaystyle 2 \sum_{k=1}^n \ k - \sum_{k=1}^n \ 1$
$= \displaystyle 2 \ \frac{n(n+1)}{2} - n$
$= n(n+1) - n$
$= n$

＜例題２＞

$\displaystyle \sum_{k=1}^n \ ( k^2 + k )$ を求めよ。

＜解＞

$\displaystyle \sum_{k=1}^n \ ( k^2 + k )$
$= \displaystyle \sum_{k=1}^n \ k^2 + \sum_{k=1}^n \ k \$
$= \displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}$
$= \displaystyle \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

＜例題３＞

$\displaystyle \sum_{k=1}^n \ ( k + 1 )( k -1 )$ を求めよ。

＜解＞

$\displaystyle \sum_{k=1}^n \ ( k + 1 )( k - 1 )$
$=\displaystyle \sum_{k=1}^n \ ( k^2 - 1 )$
$= \displaystyle \sum_{k=1}^n \ k^2 - \sum_{k=1}^n \ 1$
$= \displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - n$
$= \displaystyle \frac{n(2n+5)(n-1)}{6}$

＜例題４＞

$\displaystyle \sum_{k=1}^n \ ( k^3 +3k^2 + 2k )$ を求めよ。

＜解＞

$\displaystyle \sum_{k=1}^n \ ( k^3 +3k^2 + 2k )$
$=\displaystyle \sum_{k=1}^n \ k^3 +3 \sum_{k=1}^n \ k^2 + 2 \sum_{k=1}^n \ k$
$= \displaystyle \frac{n^2(n+1)^2}{4} + 3 \ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \ \frac{n(n+1)}{2} \$
$= \displaystyle \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + n(n+1)$
$= \displaystyle \frac{n(n+1)}{4} \{n(n+1) + 2(2n+1) + 4 \}$
$= \displaystyle \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$