相加平均相乗平均の関係とその証明
今日は
相加平均相乗平均の関係
について紹介します。
とても重要なのでしっかり理解しておきましょう。
相加平均相乗平均の関係
個の数があるとき、
これらの和を で割ったものを相加平均、
これらの積の 乗根を相乗平均
といいます。
相加平均と相乗平均との間には次の有名な不等式が成立します。
相加相乗平均の関係
（１） ,
のとき、
（等号は 
のときに成立）
（２） ,
,
のとき、
（等号は 
のときに成立）
（３） ,
,
,
のとき、
（等号は 
のときに成立）
これを、相加平均相乗平均の関係といいます。
（相加相乗平均の関係と呼ばれたり、単に相加相乗と呼ばれることもあります）
（１）は２個の数、（２）は３個の数、（３）は４個の数に関する相加平均相乗平均の関係です。
文字は全て正であることに注意してください。
相加平均相乗平均の関係はとても重要な不等式で、大学入試でも最頻出です。
数学が苦手な人はまず（１）だけ覚えましょう。
数学が得意な人や難関大学を目指す人は（１）、（２）、（３）全部覚えておいてください。
証明
まず、（１）の証明をしてみましょう。
（左辺）－（右辺）が 以上であることを示します。
等号は 、つまり、
のときに成立します
次に、（２）の証明をしてみましょう。
（１）の不等式を利用することで（３）の不等式を導くことができます。
\begin{align}
\frac{a+b+c+d}{4} &= \frac{\displaystyle \frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}}{2} \\
&\geqq \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{cd}}{2} (\ \because \ (1) \ ) \\
&\geqq \sqrt{\sqrt{ab} \sqrt{ab}} (\ \because \ (1) \ ) \\
&= \sqrt[4]{abcd}
\end{align}
等号は、、
、
つまり、 のときに成立します
（１）の不等式を２回使えば（３）の不等式が示せるわけですね。
あとは（３）の証明ですが、、、
これは宿題にしますので少し考えてみてください。。笑
