2020年 京都大学 数学（理系） 第１問
今回は２０２０年度 京都大学の数学(理系）の第１問を取り上げます。
問題
複素数の問題ですね。
「３次方程式の相異なる３解が複素数平面上で正三角形の頂点となっている」
という条件をうまく処理できるかがポイントになってきます。
実数係数の３次方程式なので、その３解は
「全て実数」or「１つが実数で他の２解が互いに共役な複素数」
となっていますが、
３解が複素数平面上で正三角形の３頂点となっていることから、
その３解は「全て実数」ではなくて、
「１つが実数で他の２解が互いに共役な複素数」
となっていることがわかりますね。
（３解が全て実数の場合は、３解が全て実軸上にあるため、
正三角形の３頂点にはなりえませんから。。）
この点をまず押さえた上で考えていくことになります。
では、いつものように簡単に見ていきましょう！
略解
先ほど考察した通り、与えられた３次方程式の３解のうち、
1つは実数で、他の２解は互いに共役な複素数になっています。
なので、３解を、、
、
としましょう。
すると、解と係数の関係から、
となっていますね。
今、、
、
が一辺の長さが
の正三角形の３頂点となっていることから、
、
は
または、
のいずれかの形で表されます。
、、しかし！（４）の場合は式（１）から となり、
これは式（３）に矛盾してしまいます。。
なので、、
は式（５）のように表されることになります！
、、ここまで来れば、、、もう勝ったも同然ですね！笑
式（５）と式（１）から、
となり、これと式（３）から
となります。このとき、
です。あとは、式（２）から、
となり、方程式の３つの解は、
と求まりますね！
、、どうでしたか？
前半部分の考察の辺りがきちんとできていれば、見通しもよく解けると思います。
京大は複素数平面が大好きなので、京大を目指される方はしっかりと理解しておきたいですね！
では、今日はこの辺で！
京大志望者必携！
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